Trắc nghiệm Toán cao cấp c2 Đại Học Bách Khoa Hà Nội

Cho hàm số \( z = f(x/y, y/x) \). Tìm biểu thức \( x\dfrac{\partial z}{\partial x} + y\dfrac{\partial z}{\partial y} \).

Tìm và phân loại điểm dừng của hàm số \( z = x^4+y^4-4xy \).

Tính tích phân kép \( I = \iint_D \dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} dxdy \), D là miền vành khăn \( 1 \le x^2+y^2 \le 4 \).

Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt paraboloid \( z=x^2+y^2 \) và mặt nón \( z=2-\sqrt{x^2+y^2} \).

Tính tích phân đường loại 2 \( I = \int_C (y^2-2x)dx + 2xydy \), với C là đường cong bất kỳ nối A(1,1) đến B(2,3).

Áp dụng công thức Green để tính \( \oint_C (e^x+y^2)dx + (2xy+e^y)dy \), với C là biên của hình chữ nhật \( [0,2]\times[0,1] \).

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân Bernoulli \( y' + \dfrac{y}{x} = x^2y^4 \).

Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y'' + y = \cos x \).

Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân \( \begin{cases} x' = x-y \\ y' = x+y \end{cases} \).

Cho trường vector \( \vec{F} \). Mệnh đề nào sau đây luôn đúng?

Tìm cực trị của hàm số \( z = x/a+y/b \) với điều kiện \( x^2+y^2=1 \).

Tính \( I = \iint_D \dfrac{dxdy}{(x^2+y^2+1)^2} \), D là toàn bộ mặt phẳng \( \mathbb{R}^2 \).

Tính tích phân đường \( \int_C \dfrac{-y dx + x dy}{x^2+y^2} \) với C là đường elip \( x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 \) ngược chiều kim đồng hồ.

Tính diện tích của phần mặt nón \( z^2=x^2+y^2 \) nằm bên trong mặt cầu \( x^2+y^2+z^2=2z \).

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y^{(4)} - y = 0 \).

Tìm vi phân cấp 2 của hàm số \( z = e^{x+y} \).

Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt cầu \( x^2+y^2+z^2=4a^2 \) và mặt trụ \( x^2+y^2=a^2 \).

Tính tích phân mặt \( \iint_S \vec{F}\cdot d\vec{S} \), với \( \vec{F}=(x^3,y^3,z^3) \) và S là mặt cầu \( x^2+y^2+z^2=a^2 \).

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y' + y = \dfrac{1}{1+e^{2x}} \).

Trường \( \vec{F} = (y^2, z^2, x^2) \) có phải trường thế không?

Tìm đạo hàm riêng \( \dfrac{\partial z}{\partial x} \) của hàm ẩn \( z=z(x,y) \) xác định bởi \( z = x+\arctan\left(\dfrac{y}{z-x}\right) \).

Tính tích phân kép \( \iint_D [2-x^2-y^2] dxdy \), D là miền \( x^2+y^2 \le 2 \). (Dấu [x] là phần nguyên của x)

Tính \( \int_C (2x-y)dx+(x+3y)dy \) với C là đường cong bất kỳ từ A(0,0) đến B(1,1).

Tính thông lượng của trường \( \vec{F}=(x,y,z) \) qua mặt bên của hình nón \( z=\sqrt{x^2+y^2}, 0 \le z \le 1 \).

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Euler-Cauchy \( x^3y''' + 3x^2y'' - 2xy' + 2y = 0 \).

Tìm biến đổi Laplace của \( f(t) = \dfrac{\sin t}{t} \).

Cho \( f(x) = \begin{cases} \sin x & x \in [0, \pi] \\ 0 & x \in [-\pi, 0) \end{cases} \). Hệ số \( b_1 \) trong khai triển Fourier của f(x) là:

Tính \( \oint_C (x^3-3y)dx + (x+y^3)dy \) với C là biên tam giác có đỉnh (0,0), (1,0), (0,1).

Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y''-4y' + 4y = \dfrac{e^{2x}}{x} \).

Tìm biến đổi Laplace ngược của \( F(s) = \dfrac{1}{s\sqrt{s+1}} \).