Bài tập Trắc nghiệm Toán cao cấp 2 Học viện Công nghệ Bưu Chính Viễn Thông TP.HCM

Cho hàm số \( z = \sin(x^2+y^2) \). Tính \( \dfrac{\partial z}{\partial x} \).

Tìm và phân loại điểm dừng của hàm số \( z = x^2+y^2-2xy \).

Tính tích phân kép \( I = \int_0^1 \int_0^x (1) dy dx \).

Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt phẳng \( z=0 \) và mặt nón \( z=1-\sqrt{x^2+y^2} \).

Tính tích phân đường loại 1 \( I = \int_C (x) ds \), với C là đoạn thẳng nối A(0,0) đến B(1,0).

Cho trường vector \( \vec{F}=(y, 2x) \). Tính \( \oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \) với C là đường tròn \( x^2+y^2=1 \) ngược chiều kim đồng hồ.

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y' + y\cot x = 2\cos x \).

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y'' + 4y' + 5y = 0 \).

Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y'' + 4y = 2\sin(2x) \).

curl(F) của trường \( \vec{F}(x,y,z) = (x^2, -2y, z^3) \) là:

Tìm cực trị của hàm số \( z = xy \) với điều kiện \( x^2+y^2=2 \).

Tính \( I = \iint_D e^{-(x^2+y^2)} dxdy \), D là toàn bộ mặt phẳng \( \mathbb{R}^2 \).

Tính tích phân đường \( \int_C y^2 dx + x dy \) với C là đường \( y=1/x \) từ (1,1) đến (2,1/2).

Tính diện tích của phần mặt trụ \( y^2+z^2=a^2 \) nằm trong mặt trụ \( x^2+y^2=a^2 \).

Tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân \( \begin{cases} x' = x-4y \\ y' = x+y \end{cases} \).

Tìm \( f''_{xy}(0,0) \) của hàm số \( f(x,y) = \cos(x+y) \).

Tính thể tích vật thể giới hạn bởi \( z=0, z=\sqrt{1-x^2-y^2} \).

Tính tích phân mặt \( \iint_S \vec{F}\cdot d\vec{S} \), với \( \vec{F}=(x^2,y^2,z^2) \) và S là biên của khối lập phương \( [0,1]^3 \).

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân Bernoulli \( y' + y = xy^3 \).

curl(F) của trường \( \vec{F}(x,y,z) = (x,y,z) \) là:

Tìm đạo hàm riêng \( \dfrac{\partial z}{\partial x} \) của hàm ẩn \( z=z(x,y) \) xác định bởi \( x e^y + y e^z + z e^x = 1 \).

Tính tích phân kép \( \iint_D x dxdy \), D là miền tam giác có đỉnh (0,0), (1,1), (0,1).

Tính \( \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \) với \( \vec{F} = (2x\sin y, x^2\cos y) \) và C là đường cong bất kỳ từ A(0,0) đến B(1, \( \pi \)).

Tính thông lượng của trường \( \vec{F}=(x,y,z) \) qua mặt trụ \( x^2+y^2=1 \) từ z=0 đến z=1 (chỉ mặt bên).

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Euler-Cauchy \( x^2y'' - 2y = 0 \).

Tìm biến đổi Laplace của \( f(t) = \sin(t)\cos(t) \).

Cho \( f(x)=x^2 \) trên \( [-\pi, \pi] \). Hệ số \( a_n, n\ge 1 \) trong khai triển Fourier của f(x) là:

Tính \( \oint_C (x-y)^2 dx + (x+y)^2 dy \) với C là biên của tam giác có đỉnh (0,0), (2,0), (1,1).

Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y''-y' = 3 \).

Tìm biến đổi Laplace ngược của \( F(s) = \dfrac{1}{s^2(s-1)} \).