Trắc nghiệm Toán cao cấp 2 Trường Đại học Ngoại thương

Cho hàm sản xuất Cobb-Douglas \( Q = 10L^{0.4}K^{0.6} \). Tăng vốn K lên 1% (với L không đổi) thì sản lượng Q thay đổi xấp xỉ:

Tìm đạo hàm riêng \( \dfrac{\partial z}{\partial x} \) của hàm số \( z = \ln(x^2+xy) \).

Tìm cực trị của hàm số \( z = x^2+y^2-xy+3x-3y \).

Tính tích phân kép \( I = \int_0^1 \int_1^2 (2x+3y) dy dx \).

Đổi thứ tự lấy tích phân của \( I = \int_1^2 \int_1^{x^2} f(x,y) dy dx \).

Tính \( I = \iint_D \sqrt{x^2+y^2} dxdy \), trong đó D là hình tròn \( x^2+y^2 \le R^2 \).

Tìm vi phân toàn phần của hàm số \( z = x^2 - xy^2 \).

Tính tích phân đường loại 2 \( I = \int_C (x+y)dx + x dy \), với C là đường cong bất kỳ nối A(1,1) đến B(2,3).

Áp dụng công thức Green để tính \( \oint_C (xy)dx + (x^2)dy \), với C là biên của hình vuông \( [0,1]\times[0,1] \).

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y' + \dfrac{y}{x} = 3x \).

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y'' - 4y' + 4y = 0 \).

Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y'' + y = x^2 \).

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm chi phí \( C(x,y)=x^2+2y^2 \) với ràng buộc sản lượng \( x+y=3 \).

Tính thể tích của vật thể nằm dưới mặt \( z = xy \) và trên hình chữ nhật \( R=[0,2]\times[0,3] \) trong mặt phẳng xy.

Tính thông lượng của trường \( \vec{F}=(y,-x,z) \) qua mặt cầu \( x^2+y^2+z^2=1 \) hướng ra ngoài.

div(F) của trường \( \vec{F}(x,y,z) = (x^2, 3y^2, -2z^2) \) là:

Mô hình tăng trưởng dân số cho bởi \( P'(t) = 0.02P(t) \). Dân số tăng gấp đôi sau khoảng thời gian:

Tính tích phân bội ba \( I = \int_0^1 \int_0^x \int_0^{xy} dz dy dx \).

Tính \( \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \) với \( \vec{F} = (2x,2y) \) và C là đường cong bất kỳ từ A(0,0) đến B(1,2).

Tích phân đường của trường vector \( \vec{F} \) không phụ thuộc đường đi trong miền D nếu:

Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình \( \begin{cases} x' = 2x+y \\ y' = 2y \end{cases} \).

Tìm biến đổi Laplace của \( f(t) = \sin^2 t \).

Cho hàm lợi ích \( U(x,y)=2x+3y \). Tỷ lệ thay thế cận biên (MRS) của x cho y là:

Tính diện tích mặt \( z = 1+x+y \) nằm bên trong mặt trụ \( x^2+y^2=1 \).

Phân loại điểm dừng (0,0) của hàm số \( z = x^2+y^4 \).

Cho \( \vec{F} = (x, y, z) \). Áp dụng định lý Stokes để tính \( \oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r} \) với C là đường cong kín bất kỳ.

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Euler-Cauchy \( x^2y'' + 2xy' - 2y = 0 \).

Tính \( I = \oint_C x^2 dy \) với C là đường tròn \( x^2+y^2=R^2 \) ngược chiều kim đồng hồ.

Tìm biến đổi Laplace ngược của \( F(s) = \dfrac{s}{(s^2+1)^2} \).

Tích phân nào sau đây dùng để tính giá trị hiện tại ròng (NPV) của một dự án có dòng tiền \( C_t \) tại các năm t=0, 1, ..., T và lãi suất chiết khấu r?