Trắc nghiệm Toán cao cấp c2 Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.HCM

Cho hàm số \( z = f(x/y) \). Tìm biểu thức \( x\dfrac{\partial z}{\partial x} + y\dfrac{\partial z}{\partial y} \).

Tìm và phân loại điểm dừng của hàm số \( z = x^4+y^4-4xy \).

Tính tích phân kép \( I = \iint_D (x-y)^2\cos^2(x+y) dxdy \), với D là hình bình hành có đỉnh (0,0), \( (\pi, -\pi) \), \( (2\pi, 0) \), \( (\pi, \pi) \).

Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt paraboloid \( z=x^2+y^2 \) và \( z=18-x^2-y^2 \).

Tính tích phân đường loại 2 \( I = \int_C (e^x\sin y - y)dx + (e^x\cos y - 1)dy \), với C là đường cong bất kỳ nối A(1,0) đến B(0,\( \pi/2 \)).

Áp dụng công thức Green để tính \( \oint_C (x^2y)dx - (xy^2)dy \), với C là đường tròn \( x^2+y^2=a^2 \).

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân Clairaut \( y = xy' - e^{y'} \).

Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y''+y = x\sin x \).

Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân \( \begin{cases} x' = 2x-y \\ y' = 5x-2y \end{cases} \).

Cho trường vector \( \vec{F} \). Mệnh đề nào sau đây SAI?

Tìm cực trị có điều kiện của hàm số \( z = xyz \) với điều kiện \( x+y+z=a, x>0, y>0, z>0 \).

Tính \( I = \iint_D |x^2+y^2-1| dxdy \), D là hình tròn \( x^2+y^2 \le 4 \).

Tính tích phân đường \( \int_C \dfrac{-y dx + x dy}{x^2+y^2} \) với C là biên của hình vuông có đỉnh (1,1), (-1,1), (-1,-1), (1,-1).

Tính diện tích của phần mặt xuyến (torus) tạo bởi quay đường tròn \( (x-R)^2+z^2=r^2 \) (R>r) quanh trục Oz.

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y^{(4)} + 2y'' + y = 0 \).

Tìm khai triển Taylor của hàm số \( z = e^{x+y} \) tại (1,-1) đến cấp 2.

Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt trụ \( (x^2+y^2)^2=2xy \) và mặt phẳng \( z=0, z=x+y \).

Tính tích phân mặt \( \iint_S \dfrac{dS}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \), với S là mặt cầu \( x^2+y^2+z^2=a^2 \).

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y' = \dfrac{y}{x+\sqrt{xy}} \).

Trường \( \vec{F} = f(r)\vec{r} \) với \( \vec{r}=(x,y,z), r=|\vec{r}| \) là trường thế khi nào?

Tìm đạo hàm \( y'(x) \) tại \( t=1 \) của hàm số cho bởi phương trình tham số \( x=t^2, y=t^3+t \).

Tính tích phân kép \( \iint_D \sqrt{x^2+y^2} dxdy \), D là miền giới hạn bởi \( x^2+y^2=2x \).

Tính \( \int_C \dfrac{e^x(x\sin y+2\cos y)dx-e^x(2\sin y-x\cos y)dy}{x^2+4} \) với C là đường cong bất kỳ từ A(0,0) đến B(1,\( \pi \)).

Tính thông lượng của trường \( \vec{F}=(x,y,z) \) qua mặt bên của hình trụ \( x^2+y^2=a^2, 0 \le z \le h \).

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Euler-Cauchy \( x^2y'' + 3xy' + y = \dfrac{1}{x} \).

Tìm biến đổi Laplace của \( f(t) = \dfrac{1-e^{-t}}{t} \).

Cho \( f(x) \) là hàm tuần hoàn chu kỳ \( 2\pi \). Tích phân \( \int_0^{2\pi} f(x) \sin(nx) dx \) dùng để tính hệ số Fourier nào?

Tính \( \oint_C (e^x-y^3)dx + (e^y+x^3)dy \) với C là đường tròn \( x^2+y^2=1 \).

Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y^{(4)}-y = e^x \).

Tìm biến đổi Laplace ngược của \( F(s) = \dfrac{1}{(s^2+1)^2} \).